એક ગન $v_0$ જેટલી મહત્તમ ઝડપથી ગોળા છોડી શકે છે અને પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવી મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{v_0^2}{g}$ છે. જો તે જ ગન વડે $R$ થી $\Delta x$ જેટલા વધુ અંતરે રહેલા લક્ષ્યને વીંધવાનું હોય,તો સાબિત કરો કે ગનને ઓછામાં ઓછી $h = \Delta x \left[ 1 + \frac{\Delta x}{R} \right]$ ઊંચાઈએ મૂકીને આ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.

(A) $h$ ઊંચાઈએથી $v_0$ ઝડપ અને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
ધારો કે લક્ષ્ય સમક્ષિતિજ અંતર $x = R + \Delta x$ અને શિરોલંબ સ્થાન $y = -h$ પર છે (પ્રક્ષેપણ બિંદુને ઉગમબિંદુ લેતા).
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{g(R + \Delta x)^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
$R = \frac{v_0^2}{g}$ હોવાથી,$\frac{g}{v_0^2} = \frac{1}{R}$ થાય. આ કિંમત મૂકતા:
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{(R + \Delta x)^2}{2R \cos^2 \theta}$
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} (1 + \tan^2 \theta)$
$\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા:
$\frac{(R + \Delta x)^2}{2R} \tan^2 \theta - (R + \Delta x) \tan \theta + \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} - h \right] = 0$
$\tan \theta$ ના વાસ્તવિક ઉકેલ માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (R + \Delta x)^2 - 4 \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} \right] \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} - h \right] \ge 0$
$(R + \Delta x)^2 - \frac{(R + \Delta x)^4}{R^2} + \frac{2h(R + \Delta x)^2}{R} \ge 0$
$(R + \Delta x)^2$ વડે ભાગતા:
$1 - \frac{(R + \Delta x)^2}{R^2} + \frac{2h}{R} \ge 0$
$\frac{2h}{R} \ge \frac{(R + \Delta x)^2 - R^2}{R^2} = \frac{2R\Delta x + \Delta x^2}{R^2}$
$h \ge \Delta x \left[ 1 + \frac{\Delta x}{2R} \right]$